Неопределённая ортогональная группа

Неопределённая ортогональная группа $\mathrm {O} (p,q)$ — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную симметричную билинейную форму с сигнатурой $(p,q)$, где $n=p+q$. Размерность группы равна $n(n-1)/2$.

Неопределённая специальная ортогональная группа $\mathrm {SO} (p,q)$ является подгруппой $\mathrm {O} (p,q)$, состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа $\mathrm {SO} (p,q)$ не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ и $\mathrm {O} ^{+}(p,q)$, которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

Группа $\mathrm {O} (p,q)$ определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы $\mathrm {O} (p,q;\mathbb {C} )$ изоморфны обычной ортогональной группе $\mathrm {O} (p+q;\mathbb {C} )$, поскольку преобразование $z_{j}\mapsto iz_{j}$ изменяет сигнатуру формы.

В пространстве чётной размерности $n=2p$ группа $\mathrm {O} (p,p)$ известна как расщепимая ортогональная группа.

Примеры

Сжимающие отображения, здесь $r=3/2$, являются основными гиперболическими симметриями.

Основным примером является группа $\mathrm {SO} ^{+}(1,1)$ (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу. Конкретно, это матрицы $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$ которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.

В физике группа Лоренца $\mathrm {O} (1,3)$ играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.

Матричное определение

Можно определить $\mathrm {O} (p,q)$, как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы $\mathrm {O} (n)$. Рассмотрим $(p+q)\times (p+q)$ диагональную матрицу $g$, заданную выражением:

$g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).$

Теперь мы можем определить симметричную билинейную форму $[\cdot ,\cdot ]_{p,q}$ на $\mathbb {R} ^{p+q}$ формулой

$[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}$,

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является стандартным скалярным произведением на $\mathbb {R} ^{p+q}$.

Мы определяем тогда $\mathrm {O} (p,q)$, как группу $(p+q)\times (p+q)$ матриц, которые сохраняют эту билинейную форму:

$\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}$.

Более явно $\mathrm {O} (p,q)$ состоит из матриц $A$, таких что:

$gA^{\mathrm {T} }g=A^{-1}$,

где $A^{\mathrm {T} }$ является транспонированной матрицей для $A$.

Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы $\mathrm {GL} (p+q)$) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой $\mathrm {O} (p,q)$.

Топология

Если и p, и q положительны, то ни $\mathrm {O} (p,q)$, ни $\mathrm {SO} (p,q)$ не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. $\pi _{0}(\mathrm {O} (p,q))\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$ является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты $\pi _{0}(\mathrm {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}$, которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.

Единичная компонента группы $\mathrm {O} (p,q)$ часто обозначается как $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ и может быть отождествлена с множеством элементов в $\mathrm {SO} (p,q)$, которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением $\mathrm {O} ^{+}(1,3)$ для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).

Группа $\mathrm {O} (p,q)$ также не компактна, но содержит компактные подгруппы $\mathrm {O} (p)$ и $\mathrm {O} (q)$, действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, $\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q)$ является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm {O} (p,q)$, в то время как $\mathrm {S} (\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))$ является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm {SO} (p,q)$. Аналогично, $\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$ является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$. Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.

В частности, фундаментальная группа группы $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ является произведением фундаментальных групп компонент $\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\mathrm {SO} (p))\times \pi _{1}(\mathrm {SO} (q))$ и задается как:

$\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))$	p = 1	p = 2	$p\geqslant 3$
q = 1	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {Z}$	$\mathrm {C} _{2}$
q = 2	$\mathrm {Z}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {Z}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {C} _{2}$
q ≥ 3	$\mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {Z}$	$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

Расщепимые ортогональные группы

В пространствах чётной размерности средние группы $\mathrm {O} (n,n)$ известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это расщепимая группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so_2n (группа Ли расщепимой вещественной формы алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы $\mathrm {O} (n):=\mathrm {O} (n,0)=\mathrm {O} (0,n)$, которая является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли.

Случай (1, 1) соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.

В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.

Расщепимые ортогональные группы используются для построения обобщённого многообразия флагов над неалгебраически замкнутыми полями.

См. также

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма

Литература

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2015. — Т. 222. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3319134666.
• Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction // Progress in Mathematics. — Second Edition. — Boston: Birkhäuser, 2002. — Т. 140. — ISBN 0-8176-4259-5. — см. страницу 372 для описания неопределённой ортогональной группы
• В. Л. Попов. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 4.
• Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 6th. — Providence, Rhole Island: AMS Chelsea publishing, 2011. — С. 335. — ISBN 978-0-8218-5282-8.